複素数平面を学習すると、必ず登場するのが「絶対値」です。
絶対値は単なる計算公式ではなく、
- 点と原点の距離
- 2点間の距離
- 円の方程式
- 軌跡
など、複素数平面のあらゆる場面で利用されます。
医学部入試でも絶対値の計算は頻出であり、公式の意味まで理解していることが重要です。
この記事では、複素数平面における絶対値の計算公式について詳しく解説します。
複素数の絶対値とは
複素数
z = a + bi
に対して、その絶対値を
|z|
で表します。
絶対値の公式は
|z| = √(a²+b²)
です。
これは複素数平面上で、
原点から点(a,b)までの距離
を表しています。
なぜこの公式になるのか
複素数
z = a + bi
は複素数平面上の点
(a,b)
に対応します。
原点を O とすると、
O(0,0)
P(a,b)
となります。
このとき三平方の定理より、
OP² = a²+b²
です。
したがって、
OP = √(a²+b²)
となります。
この距離を絶対値と定義しているのです。
基本計算
例1
z = 3+4i
のとき、
|z|
= √(3²+4²)
= √25
= 5
例2
z = 1−2i
のとき、
|z|
= √(1²+(-2)²)
= √5
例3
z = -5
のとき、
|z|
= √((-5)²)
= 5
共役複素数を利用する公式
複素数
z = a+bi
の共役複素数を
z̄ = a-bi
とします。
このとき、
z z̄
=(a+bi)(a-bi)
=a²+b²
となります。
したがって、
|z|² = z z̄
が成り立ちます。
これは医学部入試で非常によく利用される公式です。
絶対値の性質
性質①
|-z| = |z|
例えば、
|3+4i| = 5
なら
|-3-4i| = 5
です。
原点からの距離は変わりません。
性質②
|z̄| = |z|
共役複素数は実軸対称な位置にあります。
原点からの距離は同じなので、
|z̄| = |z|
が成り立ちます。
性質③
|zw| = |z||w|
これは重要な公式です。
複素数の積の絶対値は、
それぞれの絶対値の積になります。
性質④
|z/w| = |z|/|w|
(w≠0)
商についても同様の性質があります。
2点間の距離の公式
複素数
z₁
z₂
が表す2点を考えます。
このとき2点間の距離は
|z₁-z₂|
で表されます。
これは複素数平面で最も重要な公式の一つです。
例題
z₁ = 3+4i
z₂ = 1+i
のとき、
2点間の距離を求めよ。
解答
z₁-z₂
=(3+4i)-(1+i)
=2+3i
したがって、
|z₁-z₂|
=√(2²+3²)
=√13
円の方程式との関係
複素数平面では
|z-a| = r
という式が頻出です。
これは
「点 z と点 a の距離が常に r」
という意味になります。
したがって、
中心 a
半径 r
の円を表します。
医学部入試頻出公式まとめ
複素数
z=a+bi
について、
|z| = √(a²+b²)
|z|² = z z̄
|z₁-z₂|
＝2点間の距離
|z-a| = r
＝中心 a、半径 r の円
これらは必ず使いこなせるようにしておきましょう。
よくある間違い
|a+bi| を a+b としてしまう
絶対値は実部と虚部の和ではありません。
必ず
√(a²+b²)
です。
|z|² と z² を混同する
正しくは
|z|² = z z̄
です。
距離公式を忘れる
複素数平面では
|z₁-z₂|
が距離を表します。
非常に重要な考え方です。
まとめ
複素数平面において絶対値は、
原点から対応する点までの距離を表します。
複素数
z=a+bi
に対して、
|z| = √(a²+b²)
が成り立ちます。
また、
|z|² = z z̄
という公式や、
|z₁-z₂|
が2点間の距離を表すことも重要です。
絶対値を「距離」として理解できるようになると、円や軌跡の問題が格段に解きやすくなります。
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