複素数平面を学習すると、
- 2点間の距離はどう求めるのか
- 絶対値との関係は何か
- 軌跡問題ではどのように使うのか
と疑問を持つ受験生が多くいます。
実は複素数平面では、2点間の距離は非常にシンプルに表せます。
この考え方は、
- 円の方程式
- 軌跡
- 偏角
- 医学部入試の図形問題
などで頻繁に利用されます。
この記事では、複素数平面上の2点間の距離について基礎から医学部入試レベルまで解説します。
複素数平面と点の対応
複素数
z = x + yi
は複素数平面上の点
(x, y)
に対応します。
例えば、
- 1 + 2i → 点(1, 2)
- 3 − i → 点(3, -1)
となります。
この対応関係を利用して図形問題を考えます。
2点間の距離の公式
複素数 z₁、z₂ が表す2点を考えます。
このとき2点間の距離は
|z₁−z₂|
で表されます。
これが最も重要な公式です。
なぜ差を取るのか
ベクトルで考えると、
z₁−z₂
は
「点 z₂ から点 z₁ へ向かうベクトル」
を表しています。
距離とはそのベクトルの長さなので、
|z₁−z₂|
となります。
座標との対応
z₁ = a + bi
z₂ = c + di
とします。
すると、
z₁ − z₂
= (a − c) + (b − d)i
となります。
したがって距離は
|z₁−z₂|
= √{(a−c)² + (b−d)²}
となります。
これは数学Ⅰで学習した距離公式と全く同じです。
距離公式のイメージ
複素数平面では、
|z₁−z₂|
という非常に簡潔な形で2点間の距離を表せます。
これが複素数平面の大きな利点です。
例題1
z₁ = 3 + 4i
z₂ = 1 + i
とする。
2点間の距離を求めよ。
解答
まず差を計算します。
z₁ − z₂
= (3 + 4i) − (1 + i)
= 2 + 3i
したがって距離は
|2 + 3i|
= √(2² + 3²)
= √13
例題2
z₁ = 2 − i
z₂ = −1 + 3i
とする。
2点間の距離を求めよ。
解答
z₁ − z₂
= (2 − i) − (−1 + 3i)
= 3 − 4i
したがって
|z₁ − z₂|
= √(3² + (−4)²)
= 5
円の方程式との関係
医学部入試で頻出です。
例えば
|z − (2 + i)| = 3
を考えます。
これは
「点 z と点 2 + i の距離が3」
という意味です。
したがって、
中心 (2,1)
半径 3
の円を表します。
軌跡問題での利用
複素数平面の軌跡問題では、距離を利用する問題が非常に多く出題されます。
例えば
|z − 1| = 2
なら、
点 (1,0) からの距離が常に2
という意味になります。
したがって、
中心 (1,0)
半径 2
の円になります。
医学部入試で頻出の形
次の形は必ず覚えておきましょう。
|z−a| = r
中心 a、半径 r の円
|z−a| = |z−b|
点 a と点 b を結ぶ線分の垂直二等分線
|z₁−z₂|
2点間の距離
これらは医学部入試で頻出です。
よくある間違い
差を取らずに絶対値を計算する
距離は
|z₁|
や
|z₂|
ではありません。
必ず
|z₁−z₂|
です。
順番を気にする
距離を求める場合、
|z₁−z₂|
と
|z₂−z₁|
は同じ値になります。
絶対値が付いているためです。
絶対値を単なる符号消しと思う
複素数の絶対値は距離を表します。
実数の絶対値とは意味が異なるので注意しましょう。
まとめ
複素数平面において、
z₁ と z₂ が表す2点間の距離は
|z₁−z₂|
で求められます。
これはベクトルの長さや座標平面の距離公式と本質的に同じ考え方です。
特に医学部入試では、
- |z₁−z₂| は2点間の距離
- |z−a| = r は円
- |z−a| = |z−b| は垂直二等分線
という解釈が頻出です。
複素数平面では絶対値を「距離」として捉えることが、図形問題攻略の第一歩となります
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