複素数を学習すると必ず登場するのが「共役複素数」です。
共役複素数は単なる定義事項ではなく、
- 絶対値の計算
- 分母の有理化
- 方程式
- 複素数平面
など、あらゆる場面で利用されます。
特に医学部入試では、
共役複素数を利用して計算を簡単にする問題
が頻出です。
この記事では共役複素数の計算について基礎から医学部入試レベルまで解説します。
共役複素数とは
複素数
z = a + bi
に対して、
z̄ = a − bi
を共役複素数といいます。
つまり、
虚部の符号だけを反対にしたもの
が共役複素数です。
例えば、
- 3+2i の共役複素数 → 3−2i
- 1−4i の共役複素数 → 1+4i
- −2+i の共役複素数 → −2−i
となります。
共役複素数の基本計算
まずは最も基本的な性質を確認しましょう。
複素数
z = a+bi
に対して、
共役複素数は
z̄ = a−bi
です。
このとき、
z + z̄
=(a+bi)+(a−bi)
=2a
となります。
つまり、
共役複素数との和は実数になる
のです。
差の計算
今度は差を計算します。
z − z̄
=(a+bi)−(a−bi)
=2bi
となります。
つまり、
共役複素数との差は純虚数になる
ことが分かります。
積の計算
医学部入試で最も重要なのが積です。
z z̄
=(a+bi)(a−bi)
となります。
ここで差の平方の公式を利用すると、
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2
したがって、
zz̄ = a²+b²
となります。
虚数部分が消えて実数だけが残ります。
絶対値との関係
複素数
z = a+bi
の絶対値は
|z| = √(a²+b²)
でした。
したがって、
|z|² = a²+b²
です。
先ほど求めた
zz̄ = a²+b²
と比較すると、
|z|² = zz̄
が成り立ちます。
これは医学部入試で頻出の公式です。
例題1
z = 3+4i
とする。
z̄ を求めよ。
解答
虚部の符号を変えるだけなので
z̄ = 3−4i
例題2
z = 2+i
とする。
z+z̄ を求めよ。
解答
z̄ = 2−i
なので、
z+z̄
=(2+i)+(2−i)
=4
例題3
z = 1+2i
とする。
zz̄ を求めよ。
解答
z̄ = 1−2i
なので、
zz̄
=(1+2i)(1−2i)
=1−4i²
=1+4
=5
共役複素数の和・差・積の公式
複素数
z = a+bi
について、
和
z+z̄ = 2a
差
z−z̄ = 2bi
積
zz̄ = a²+b²
が成り立ちます。
これらは頻出公式なので確実に覚えておきましょう。
分母の有理化
共役複素数は分母の有理化でも利用されます。
例えば
1/(2+i)
を計算します。
分母の共役複素数
2−i
を分子・分母に掛けると、
(2−i)/((2+i)(2−i))
となります。
分母は
4−i²=5
なので、答えは
(2−i)/5
です。
共役複素数の共役
共役複素数をさらに共役にすると元に戻ります。
つまり
(z̄)̄ = z
です。
例えば
3+2i
↓
3−2i
↓
3+2i
となります。
医学部入試での利用
医学部入試では、
- 絶対値の計算
- 方程式
- 軌跡
- 偏角
- 複素数平面
など様々な場面で共役複素数が登場します。
特に
|z|² = zz̄
は最重要公式なので必ず使いこなせるようにしましょう。
よくある間違い
実部まで符号を変える
共役複素数では、
実部は変わりません。
変化するのは虚部だけです。
zz̄ を z² と勘違いする
これは非常に多いミスです。
正しくは
zz̄ = a²+b²
です。
有理化で間違った数を掛ける
分母に掛けるのは必ず共役複素数です。
まとめ
複素数
z = a+bi
の共役複素数は
z̄ = a−bi
です。
また、
- z+z̄ = 2a
- z−z̄ = 2bi
- zz̄ = a²+b²
- |z|² = zz̄
が成り立ちます。
共役複素数は複素数分野全体の土台となる重要事項です。
公式だけでなく、「虚数部分を打ち消して実数にするための道具」という役割まで理解しておくと、医学部入試レベルの問題にも対応しやすくなります。
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